XX Турнир Архимеда

Зимний тур

23 января 2011 г.

Условия

Задача 1. Диспетчер записывает время отправления и прибытия рейсовых автобусов (например, 18:50, то есть 18 часов 50 минут). Однажды он заметил, что для записи времени отправления двух автобусов  потребовалось 8  различных цифр.  Мог ли интервал между этими автобусами быть меньше 40 минут?

Задача 2. Двойки в дневнике. У Феди в дневнике на 10% больше двоек, чем у Лизы. Федя исправил 10% своих двоек, а Лиза - 1% своих. У кого из них осталось больше неисправленных двоек?

Задача 3. На острове рыцарей и лжецов принят закон: теперь рыцари могут лгать, но только в день своего рождения. В остальные дни они обязаны говорить правду. Пьер и Джон – рыцари. На вопрос: «Когда Ваш день рождения?», заданный 23 января, Пьер ответил: «Он был вчера», а Джон: «Он будет завтра». На следующий день (24 января), на тот же вопрос, каждый из них ответил то же самое. Определите, если возможно, дату рождения каждого из них.

Задача 4. Любимая игра. Два банкира играют в игру: наполняют кошельки монетами. В их распоряжении три кошелька. За один ход можно положить по одной монете в два из трех  кошельков. Выигрывает тот, кто положил в какой-нибудь из кошельков 2010-ую монету. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?  Как он должен играть, чтобы наверняка выиграть?

Задача 5. Два числа. А) Существуют ли два натуральных числа a и b, таких что сумма цифр числа a равна 2008,  сумма цифр числа b равна 2009, а сумма цифр числа a+b равна 2010?  Б) Тот же вопрос, если сумма цифр числа a равна 2009,  сумма цифр числа b равна 2010,  а сумма цифр числа a+b равна 2011?

Задача 6. Да или нет? А) Можно ли закрасить некоторые клетки квадрата 6Х6 так, чтобы каждая клетка граничила ровно с одной окрашенной клеткой? Б) Тот же вопрос для квадрата 7Х7.