VI Турнир Архимеда

Зимний тур

19 января 1997 г.

Условия

Задача 1. Точки и отрезки. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались, и из каждой точки исходило ровно 4 отрезка.

Задача 2. Два рыбака поймали 70 рыб, причем 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго окуни. Сколько рыб поймал каждый?

Задача 3. Числа на доске. На доске написано три числа: 19, 9 и 7. С этими числами разрешается делать две операции: 1) Удвоить любое из чисел; 2) От каждого из чисел отнять по 1. Можно ли проделав несколько таких операций получить три нуля?

Задача 4. Делимость на 116. Натуральные числа a и b таковы, что 19a=97b. Докажите, что a+b делится на 116.

Задача 5. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый их них говорит: «Мои соседи рыцарь и лжец». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Сколько среди них лжецов, если за столом 9 человек?

Задача 6. Пещера Али-Бабы. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз не более 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото или алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?