XVI Турнир Архимеда

Заочный тур

2006/2007 уч. год

Условия

1. Число и его сумма цифр. Какое наибольшее значение может принимать отношение трехзначного числа к сумме его цифр?

2. Числа по кругу. Можно ли расставить 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась бы на три и а) была больше 9? б) была больше 12?

3. Фигуры на доске. На шахматной доске расположены фигуры (не пешки!). В некоторых клетках написаны числа, которые соответствуют количеству фигур, «атакующих» эту клетку. Определите, какие фигуры стоят на доске, и восстановите позицию.

4. Разрезание в пространстве. Можно ли плиту размером разрезать на четыре части и затем сложить из них куб?  Ответ обоснуйте.

5. Игральный автомат. С натуральным числом, записанным в десятичной системе, разрешается проделать операции: 1) приписать на конце цифру 4; 2) приписать на конце цифру 0; 3) разделить на 2 (если число четно). Можно ли из числа 4 получить 2007? Какие числа можно получить из числа 4?

6. Большой лист бумаги. Можно ли разрезать квадратный лист бумаги со стороной 1 м, на а) 31 квадрат б) 30 квадратов, так, чтобы хотя бы один из них имел сторону менее 1 мм?

7. Старинная задача. Крестьяне из трех соседних сел потратили на починку моста 143 рубля 65 копеек. Расходы было решено поделить пропорционально числу дворов и обратно пропорционально расстоянию от села до моста. Сколько должны заплатить жители каждого села, если в первом селе 50 дворов, и оно находится в 4 верстах от моста, во втором - 60 дворов - в 6 верстах от моста, в третьем - 160 дворов - в 8 верстах от моста?

8. Подслушанный разговор. Мне удалось подслушать разговор между учителем и двумя учениками.

Учитель: даны два целых чи­сла, больших 1. Сумма их не превышает 66. Сумму этих чисел я сообщил Васе, а произведение - Феде. Можете ли вы угадать исходные числа?

- Не могу, - ответил Федя.

- Я это знал заранее, - заметил Вася.

- Тогда я знаю эти чис­ла! - воскликнул Федя.

- Тогда и я их знаю! - сказал Вася.

Ученики смогли правильно назвать задуман­ные числа. Попробуйте и Вы их назвать.