Задача 1. В трехлитровой банке находится литр спирта, а в пятилитровой – литр воды. Разрешается переливать из одного сосуда в другой любое количество жидкости. Можно ли в результате какого-то количества переливаний получить в пятилитровой банке  раствор спирта с концентрацией 54%?

Задача 2. Можно ли сложить стенку 20х15х14 из плит размером 2х5х10?

Задача 3. На шахматной доске проведена прямая. Какое наибольшее число клеток шахматной доски она может пересечь?

Задача 4. У сейфа 16 ручек, которые расположены в 4 ряда по 4 ручки в каждом ряду. Каждая ручка может находиться в одном из двух положений: горизонтальном или вертикальном. При повороте любой ручки поворачиваются все ручки в том ряду и в том столбце, где она находится. Сейф открывается, если все ручки находятся в горизонтальном положении. Верно ли, что при любом исходном положении ручек сейф можно открыть?

Задача 5. Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 12, 1121, 1321, 122131, 132231, 122232, …. Сформулируйте правило, согласно которому составлена данная последовательность.

Задача 6. Может ли число вида 1999ⁿ—1 оканчиваться на 1999 нулей?

Задача 7. Некоторое девятизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (каждая цифра вошла десятичную запись этого числа ровно один раз) умножили на 8. В результате получилось число, десятичная запись которого  состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Найдите хотя бы одно такое число. Сколько таких чисел существует?

Задача 8. Один известный Математик пошел к приятелю в гости, но по дороге забыл номер его квартиры. Расспрашивая соседей, он выяснил, что:

1) если верно, что номер квартиры кратен 2, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59;

2) если верно, что этот номер не кратен 3, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69;

3) если верно, что этот номер не кратен 4, то он больше, чем 70, но меньше, чем 79.

Сумел ли Математик определить номер квартиры по этим данным? Если да, то как он при этом рассуждал?

VIII Турнир Архимеда

Заочный тур

1998/1999 уч. год

Условия

1. В трехлитровой банке находится литр спирта, а в пятилитровой - литр воды. Разрешается переливать из одного сосуда в другой любое количество жидкости. Можно ли в результате какого-то количества переливаний получить в пятилитровой банке  раствор спирта с концентрацией 54%?

2. Можно ли сложить стенку из плит размером ?

3. На шахматной доске проведена прямая. Какое наибольшее число клеток шахматной доски она может пересечь?

4. У сейфа 16 ручек, которые расположены в 4 ряда по 4 ручки в каждом ряду. Каждая ручка может находиться в одном из двух положений: горизонтальном или вертикальном. При повороте любой ручки поворачиваются все ручки в том ряду и в том столбце, где она находится. Сейф открывается, если все ручки находятся в горизонтальном положении. Верно ли, что при любом исходном положении ручек сейф можно открыть?

5. Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 12, 1121, 1321, 122131, 132231, 122232, .... Сформулируйте правило, согласно которому составлена данная последовательность.

6. Может ли число вида оканчиваться на 1999 нулей?

7. Некоторое девятизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (каждая цифра вошла десятичную запись этого числа ровно один раз) умножили на 8. В результате получилось число, десятичная запись которого  состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Найдите хотя бы одно такое число. Сколько таких чисел существует?

8. Один известный Математик пошел к приятелю в гости, но по дороге забыл номер его квартиры. Расспрашивая соседей, он выяснил, что:

1) если верно, что номер квартиры кратен 2, то он больше, чем 50, но меньше, чем 59;

2) если верно, что этот номер не кратен 3, то он больше, чем 60, но меньше, чем 69;

3) если верно, что этот номер не кратен 4, то он больше, чем 70, но меньше, чем 79.

Сумел ли Математик определить номер квартиры по этим данным? Если да, то как он при этом рассуждал?