1. Неверное равенство. На доске написано равенство:

(вместо * в неизвестном порядке написаны знаки “+” и “–”). Докажите, что это равенство не может быть верным.

2. Загадочная тетрадь. Однажды на лестнице я нашел странную тетрадь. В ней было написано 100 утверждений:

В этой тетради ровно 1 неверное утверждение.

В этой тетради ровно 2 неверных утверждения.

В этой тетради ровно 100 неверных утверждений.

Какое утверждение здесь верно?

3. Похудеть к лету. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?

4. Бракованная монета. Известно, что монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек весят соответственно 1, 2, 3 и 5 грамм. Среди четырех монет (по одной каждого достоинства) одна бракованная: отличается весом от настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

5. Делимость на 11. Докажите, что если выражение при некоторых целых значениях a, b и c делится на 11, то и выражение при этих значениях a, b и c делится на 11.

6. На некотором острове живут два племени: "Рыцари" и "Лжецы" (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Перед нами 3 островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и В) высказывают следующие утверждения А: “Мы все лжецы”; В: ”Один из нас рыцарь”. Кто из трех островитян (А, В, С) рыцарь и кто лжец?