IX Зимний турнир Архимеда

Центр образования №109

16.01.2000

Условия

1. Шесть крепостей. Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения дорог и крепостей, чтобы на ней было только три перекрестка и на каждом из них пересекалось ровно две дороги.

2. Восстановите пример, учитывая, что одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами: .

3. Кузнечик прыгает по координатной прямой малыми и большими прыжками. Большой прыжок 12 единичных отрезков, малый 7.

1) может ли он попасть из точки с координатой - 1 в точку с координатой 9?

2) Верно ли, что кузнечик может попасть из любой точки с целой координатой в любую другую?

4. Стираем дроби. На доске написано равенство:

.

1) можно ли стереть некоторые дроби, а затем некоторые плюсы заменить на минусы так, чтобы равенство стало верным?

2) можно ли, не стирая дробей, некоторые плюсы заменить на минусы так, чтобы после этого равенство стало верным?

5. Рыцарь или Лжец? На острове живут два племени: «Рыцари» и «Лжецы» (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). В комнате собрались несколько жителей острова. Примерно половина из них утверждает, что число рыцарей, находящихся в комнате нечетно, и число лжецов также нечетно. Остальные доказывали, что число и тех и других - четно. Один из присутствующих, подводя итоги обсуждения, заметил, что всего в комнате 37 человек. Кто он, рыцарь или лжец?

6. От 1 до 1000000. Какова сумма всех цифр, используемых для записи всех натуральных чисел от одного до миллиона?