VII Зимний турнир Архимеда

Гимназия-лицей №109

18.01.1998

Условия

1. «Треугольная» сетка сделана из шнура, который может гореть. Огонь распространяется по шнуру с одной и той же скоростью по всем направлениям (каждое звено сгорает ровно за 1 минуту). Какие из отмеченных звеньев (AB, BC, CD, DE или AF) сетки сгорят последними, если поджечь сетку в точке O? За какое время они сгорят?

2. Поход за молоком. В 1975 году Антон пошел в молочный магазин. Денег у него не было, но были пустые бутылки 6 литровых (стоимостью 20 коп) и 6 полулитровых (стоимостью 15 коп). В магазине было  разливное молоко по 22 коп литр. Какое наибольшее количество молока он может принести домой? Другой посуды, кроме пустых бутылок, у него нет.

3. Куб. Расставьте цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба так, чтобы суммы цифр, стоящих в каждой грани были равны.

 

4. Числа. На доске написаны три целых числа A, B, C. В следующей строке под ними пишут разности , ,  и так далее, до пятой строки включительно. Подберите числа A, B и C так, чтобы в пятой строке было число 1998. Можно ли подобрать числа A, B и C так, чтобы в пятой строке было число 1997?

5. Шахматный турнир. В круговом турнире шахматистов (каждый по одному разу играет со всеми остальными участниками, причем за победу дается 1 очко, за ничью 0,5 очка, за поражение 0) участвуют 30 человек. Чтобы выполнить норму IV разряда требуется набрать 60% очков. Сколько партий будет сыграно в турнире? Какое наибольшее число шахматистов может стать разрядниками по итогам турнира?

6. Найдите икс! Вася разделил число 1998 на 2, а затем умножил его на x и в результате получил число  (в десятичной записи числа одни единицы). Чему равен x?